양수 ( a, b, c )에 대해 표현식 ( S = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} )의 최솟값을 찾기 위해 다음과 같은 접근을 사용할 수 있습니다.
단계 1: 대칭성 의식하기
이 표현식은 ( a, b, c )에 대해 대칭적입니다. 따라서 ( a = b = c )인 경우를 고려하면 불리한 경우가 아닐 것입니다.
단계 2: 동등한 값으로 설정
( a = b = c = k )라고 가정해 봅시다. 이 경우:
[
S = \frac{k}{k+k} + \frac{k}{k+k} + \frac{k}{k+k} = \frac{k}{2k} + \frac{k}{2k} + \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
]
단계 3: 불평등 적용하기
Cauchy-Schwarz 부등식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) \left( (b+c) + (c+a) + (a+b) \right) \geq (a+b+c)^2
]
여기서 양변을 정리하면,
[
S \cdot 2(a+b+c) \geq (a+b+c)^2
]
이를 통해 ( S )에 대한 부등식을 얻게 됩니다.
단계 4: 최솟값 구하기
양변을 ( 2(a+b+c) )로 나누면:
[
S \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}
]
따라서, ( S )의 최솟값을 찾기 위해 ( a + b + c )를 최소화해야 합니다. ( a, b, c )가 모두 같을 때, 즉 ( a = b = c )일 때 최소값을 구할 수 있습니다.
[
S \geq \frac{3k}{2} \text{ (여기서 } k = a = b = c\text{)}
]
결론
따라서, ( S )의 최솟값은 ( \frac{3}{2} )입니다. 이 값은 ( a = b = c )일 때 달성됩니다.
즉,
[
S_{\text{min}} = \frac{3}{2}
]입니다.
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