미분과 적분은 미적분학의 두 주요 개념으로, 함수의 변화와 면적을 다룹니다.
미분
미분은 함수의 변화를 측정하는 도구입니다. 주어진 함수 ( f(x) )의 미분 ( f'(x) )은 ( x )에서 함수의 기울기, 즉 변화율을 나타냅니다. 쉽게 말해, 함수의 입력값이 아주 조금 변할 때 함수 값이 어떻게 변하는지를 나타냅니다.
예를 들어, 거리 시간에 대한 함수가 있다고 할 때, 그 함수의 미분은 특정 시점에서의 순간 속도를 나타냅니다.
미분의 정의:
미분은 다음과 같이 정의됩니다.
[
f'(x) = \lim_{h \to } \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
]
적분
적분은 주어진 함수 아래의 면적을 구하는 방법입니다. 주로 두 가지 형태가 있습니다: 정적분과 부정적분.
-
부정적분: 어떤 함수의 미분을 통해 원래의 함수를 찾는 과정입니다. 즉, ( F'(x) = f(x) )이면서 ( F(x) )가 ( f(x) )의 부정적분입니다. 부정적분은 상수항이 포함될 수 있습니다.
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정적분: 주어진 구간 ([a, b])에서 함수 ( f(x) ) 아래의 면적을 계산하는 것입니다. 이는 리만 합의 극한을 사용하여 정의되며, 다음과 같이 표현됩니다.
[
\int_a^b f(x) , dx
]
정적분은 면적을 구하는 데 유용하며, 물리적 상황에서는 일이나 총량을 계산할 때 자주 사용됩니다.
미적분학의 기본 정리
미적분학의 기본 정리는 미분과 적분의 관계를 설명합니다. 이 정리는 두 가지 주요 부분으로 나뉩니다:
-
1차 부분: 만약 ( F )가 ( f )의 부정적분이라면, ( F' = f )가 성립합니다.
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2차 부분: 만약 ( f )가 연속함수라면, ( F(x) = \int_a^x f(t) , dt )가 성립하며 ( F' = f )가 성립합니다.
이러한 원리를 통해 미분과 적분은 서로 밀접한 관계를 맺고 있으며, 여러 분야에서 매우 중요한 역할을 합니다.
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