우주선이 지구 벗어나기 위한 탈출속도는 비행기의 80배

2022년 4월 7일 개봉한 넷플릭스의 다큐멘터리 영화 ‘리턴 투 스페이스’에서는 일론 머스크와 스페이스X 엔지니어들이 미국 항공우주국(NASA) 우주비행사를 국제우주정거장으로 돌려보내 우주여행에 혁명을 일으키는 이야기를 담고 있다.

냉전 시대 이후 미국과 러시아는 치열한 우주경쟁을 했지만 천문학적 비용에 부담을 느낀 NASA는 유인우주선 운영을 중단하고, 2011년 이후부터는 러시아 우주선을 이용하고 있었다. 이렇게 정부 주도 우주산업이 침체기에 접어들자 민간기업인 테슬라의 일론 머스크와 스페이스X 엔지니어들이 힘을 합쳐 NASA와 파트너십을 따내는 데 성공한다. 오랜 기간 수많은 시행착오와 시도 끝에 2020년 5월 민간 우주선 크루드래건(Crew Dragon)에 우주인 2명을 태우고 3개월 동안 국제우주정거장에서 임무를 수행하고 되돌아오는 데 성공한다.

우주선을 우주에 보내는 데는 섬세한 과학기술과 천문학적 비용이 발생한다. 그렇다면 우주선을 지구 밖으로 보내기 위해 우주선에 얼마만큼의 에너지가 필요할까. 가장 단순하게 계산하는 방법은 마찰력과 공기저항을 무시하고 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하는 것이다. 지구는 우주선에 끊임없이 잡아당기는 인력을 작용한다. 이 힘은 중력으로 질량을 가진 물체 사이에 작용하는 인력이다. 중력은 각 질량의 곱에 비례하고, 거리의 제곱에 반비례한다. 지표면 근처 중력은 지표면 위에서의 높이가 지구 반지름에 비해 매우 작아서 두 물체 사이의 거리를 지구 반지름으로 근사하여 계산하지만, 우주로 쏘아 보내는 우주선은 그럴 수 없다.

따라서 우주선이 무한대로 멀어지는 데 필요한 에너지는 무한대에 있는 우주선이 지구까지 오는 데 지구 중력이 하는 일의 크기를 계산하면 구할 수 있다. 물체에 한 일은 물체에 가한 힘에 힘의 방향으로 이동한 거리를 곱해 구할 수 있다. 이 경우 힘의 크기가 거리에 따라 변하므로 적분을 사용한다. 공식으로 나타내면 다음과 같다.

즉, 우주선을 지구에서 완벽하게 떠나보내려면 최소 G·Mm/R의 에너지가 필요하다. 우주선에 동력이 없다면 발사 당시의 운동에너지만으로 벗어나게 되는데 이때 필요한 최소한의 초기 속도를 탈출 속도라고 한다. 운동에너지는 다음과 같이 정의된다.

참고로 물체의 운동에너지도 물체가 일을 받았을 때 생기는 에너지로, 아래와 같이 유도할 수 있다.

우주선이 출발 당시 필요한 속도를 탈출 속도라고 하는데, 지구 탈출에 필요한 운동에너지를 이용해 탈출 속도를 다음과 같이 구할 수 있다.

G에 중력 상수, R에 지구 반지름, M에 지구 질량을 대입해 계산해보면 대략 11㎞/s가 나온다. 이 속도는 비행기보다 80배 정도 빠른 것이다. 다양한 악조건에서 버티기 위해 상당히 견고하게 만들어진 우주선은 질량이 클 수밖에 없다. 따라서 그렇게 큰 우주선에 11㎞/s의 속력을 내기 위한 연료(에너지)양은 어마어마할 수밖에 없고, 이를 위해 천문학적인 금액이 필요하게 된다.

사람들은 우주를 향해 왜 그렇게 끊임없는 도전을 하는 걸까. 심지어 소중한 목숨까지 걸고 말이다. 달에 다녀온 우주인 닐 암스트롱의 이야기를 소재로 2018년 개봉된 영화 ‘퍼스트 맨’에 몇 가지 명대사가 있다. “이것은 한 인간에게는 작은 발걸음이지만, 인류에게는 위대한 도전입니다.” “어떤 위치에 있느냐에 따라 보는 게 달라집니다.” 꼭 우주가 아니더라도 무언가를 향한 사람들의 지적 호기심과 열정은 우리를 감동시킨다.

신다인 창덕여고 교사 우주선이 무한대로 멀어지는 데 필요한 에너지는 무한대에 있는 우주선이 지구까지 오는 데 지구 중력이 하는 일의 크기를 계산하면 구할 수 있다. 이는 무한대에서 지구 중력 퍼텐셜 에너지와 지구에서 지구 중력 퍼텐셜 에너지의 차이와 같다. 다르게 생각하면 우주선을 지구에서 무한대의 위치까지 보낼 때, 중력과 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 가하며 하는 일과 같다. 물체에 한 일은 물체에 가한 힘에 힘의 방향으로 이동한 거리를 곱해 구할 수 있다.